Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al utilizar la codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el dominio, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para abordar este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.

Como se muestra en la tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits aún presenta un gran espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, siendo la codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

Tabla 1: Ruta de derivación de STARKs

| Generación | Ancho de codificación | Sistema representativo | |------|----------|----------| | Primera generación | 252 bit | StarkWare STARKs | | Segunda generación | 64 bits | Plonky2 | | Tercera generación | 32 bits | BabyBear | | Cuarta generación | 1 bit | Binius |

En comparación con Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 y otros campos finitos descubiertos en los últimos años, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de Cifrado Avanzado (AES), basado en el campo F28;

• Código de autenticación de mensajes Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en el cálculo de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en una extensión de dominio más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación del rastro en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas y logra representar los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables ( en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria computacional a través de su valor en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y realizar la extensión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actuales generalmente incluye las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información )Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(: PIOP, como núcleo del sistema de pruebas, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de la evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, que manejan las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico )Polynomial Commitment Scheme, PCS(: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y verificar más tarde el resultado de la evaluación de dicho polinomio, ocultando al mismo tiempo otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI)Fast Reed-Solomon IOPP( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Halo2 fue diseñado con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar la configuración de confianza del protocolo ZCash.

• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para asegurar la corrección, rendimiento y seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable previa, si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios )towers of binary fields( constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas en el campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de producto y permutación de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo )PIOP(, asegurando una verificación consistente, segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en campos pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Por último, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de campo pequeño )Small-Field PCS(, permitiendo implementar un sistema de pruebas eficiente en el campo binario y reduciendo los gastos generalmente asociados con campos grandes.

) 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

El campo binario en torre es clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. El campo binario admite operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario admite un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario se pueden representar en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura en torre, hacen que el campo binario sea especialmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.

Donde "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede mapearse directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, ya que estos no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número específico de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede contenerse en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario sí posee esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comúnmente utilizados incluyen la reducción especial ( como se usa en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Explorando el Espacio de Diseño de Implementaciones de Hardware ECC en Campos Primos vs. Campos Binarios" señala que en el campo binario no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de )X + Y (2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias formas en el contexto del campo binario. Puede considerarse un elemento único en un campo binario de 128 bits, o desglosarse en dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos de campo F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños se pueden empaquetar en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicación, elevación al cuadrado y operaciones de inversión en un campo de torre binaria de n bits ) descomponiéndolo en un subcampo de m bits (.

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Figura 1: Dominio binario en torre

) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se inspira en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de los polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:

1. GateCheck: Verificar si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C(x, ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto del polinomio.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en un hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariable en uno de un polinomio univariable, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que facilitan el procesamiento de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha mejorado en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no cero en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero sobre el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación de múltiples columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de ordenación polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo PIOPSumCheck existente, especialmente al proporcionar un soporte funcional más robusto al manejar verificaciones de polinomios multivariables más complejas. Estas mejoras no solo resuelven las limitaciones en HyperPlonk, sino que también establecen una base para futuros sistemas de pruebas basados en campos binarios.

) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilinéal------aplicable